Buscando unas cuantas agujas en un pajar
Por Paolo Amore*
Hace más de un siglo, antes del adviento de la mecánica cuántica, el físico británico J.J. Thomson (Premio Nobel 1906 y descubridor del electrón) propuso un modelo del átomo en el que los electrones (cargas negativas) están distribuidos en un volumen donde los protones (cargas positivas) se distribuyen uniformemente.
Algunos años después, un botánico holandés, Pieter Merkus Lambertus Tammes, en su tesis doctoral consideró la pregunta de cómo disponer un número de puntos sobre una esfera de manera tal que la distancia mínima entre los puntos sea máxima (relevante para entender la disposición de poros en granos de polen). Este problema se conoce hoy como el “problema de Tammes”.
Ambos problemas, aunque diferentes tanto en aplicaciones como en motivaciones, son casos particulares del problema general de cómo minimizar la energía de un sistema de (muchas) partículas que interactúan entre sí por medio de alguna fuerza; el problema de Thomson, por ejemplo, corresponde a asumir que las partículas son cargas eléctricas e interactúan por medio de la fuerza repulsiva de Coulomb, mientras que el problema de Tammes corresponde a considerar las partículas como cuerpos sólidos que interactúan entre sí solamente cuando entran en contacto (por lo tanto, corresponde a un problema de empaquetamiento sobre la esfera).
Las soluciones de estos problemas son configuraciones de puntos que están en equilibrio, o sea, para los cuales la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre cada partícula es nula. En general, se sabe que este tipo de problema tiene muchas soluciones y, mientras que, encontrar una solución cualquiera es algo relativamente fácil, encontrar la solución de energía más baja (“mínimo global” de la energía) o, peor aún, todas las soluciones, es un problema terriblemente difícil, incluso usando una (o muchas) computadoras. De hecho, se debe a Erber y Hockney el descubrimiento de que, para el problema de Thomson, el número de soluciones aumenta exponencialmente con el número de puntos; es decir, si pasamos de considerar configuraciones con N puntos a configuraciones con el doble (2N), el número de soluciones también crece exponencialmente.
Por ejemplo, para el caso de 100 cargas, se conocen 56 soluciones para el problema de Thomson, pero se estima que para 200 cargas el número de soluciones supera los tres millones. Aun así, el número de soluciones no es el único elemento de dificultad; si alguien tuviera la ambición de descubrir todas para un número dado de cargas, debería tomar en cuenta que algunas son mucho más difíciles de encontrar que otras. La analogía sería como tratar de disparar a blancos de distintos tamaños y/o desde distancias diferentes; si el blanco es muy pequeño o la distancia es muy grande, la probabilidad de acertarle es mucho menor. De alguna forma, buscar estas soluciones es precisamente como buscar agujas en un pajar.
Debido a la naturaleza del problema, estas búsquedas se hacen numéricamente, o sea, con el auxilio de computadoras, y para valores de N donde el número de soluciones sea aún abordable. Es así que, junto con Victor Figueroa, quien se graduó de la licenciatura en Física en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Colima, trabajamos en meses pasados, en desarrollar algoritmos que permitan encontrar el máximo número de soluciones independientes del problema de Thomson.
Un algoritmo es un poco como una ruta hacia un destino; en ese sentido, los algoritmos más eficientes son como tomar la autopista en lugar de la carretera libre. Siguiendo esta analogía, la opción de viajar en avión en lugar de en carro equivale a pasar de una computadora a otra más poderosa. Obviamente, viajar en avión puede resultar mucho más caro, por lo que nuestros esfuerzos se han concentrado en encontrar una autopista suficientemente rápida. Gracias al trabajo duro de las computadoras (y también al nuestro), hemos logrado descubrir más configuraciones que las reportadas previamente en publicaciones científicas, y tenemos la esperanza de publicar nuestros resultados en el próximo futuro.
Para conocer más sobre este tema, puede consultarse el siguiente enlace: https://link.springer.com/article/10.1007/s10955-025-03520-y
*Profesor e investigador de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Colima
Las opiniones expresadas en este texto periodístico de opinión, son responsabilidad exclusiva del autor y no son atribuibles a El Comentario.
