Opinión

COLUMNA: Ciencia y Futuro

Las matemáticas de los sistemas de control

Por Luis E. Garza*

Un sistema de control (o controlador) es un conjunto de dispositivos que permite que otro sistema se comporte de tal forma que alcance los resultados deseados. Un ejemplo sencillo es el uso de un aire acondicionado en una habitación: el controlador en este caso es simplemente un termostato que enciende o apaga el compresor dependiendo de si el valor de la temperatura actual es superior o inferior a la temperatura deseada, respectivamente. Por supuesto, existen controladores mucho más complicados, como los utilizados para regular los sistemas de vuelo de aviones y helicópteros, o los que se requieren para colocar un satélite en órbita alrededor de la Tierra.

Sin importar lo complicado que sea un sistema, siempre es posible representarlo mediante un modelo matemático. Dichos modelos son muy importantes porque nos permiten predecir el comportamiento del sistema y diseñar un sistema de control que garantice la correcta operación del sistema y la obtención de los resultados esperados.

Una propiedad importante de un sistema es la estabilidad. Por estabilidad, nos referimos a que la salida de un sistema alcance un valor constante a medida que el tiempo avanza. En el ejemplo del aire acondicionado antes mencionado, la estabilidad puede interpretarse como la propiedad de que eventualmente la habitación alcanzará y mantendrá la temperatura deseada. Matemáticamente hablando, la estabilidad de un sistema está completamente determinada por un polinomio que se obtiene a partir del modelo matemático, llamado polinomio característico. Estudiando dicho polinomio, es posible determinar si un sistema dado es estable o no. Esta relación motiva a los matemáticos para seguir con el estudio de nuevas propiedades de polinomios.

Por otro lado, aunque el modelo matemático proporciona información útil, a menudo no representa exactamente a un sistema. Esto se debe principalmente a 2 razones. Primero, que los modelos que se consideran son generalmente aproximaciones o simplificaciones del sistema real que permiten facilitar el análisis. Segundo, que normalmente hay una cierta cantidad de incertidumbre en el sistema. A su vez, esta incertidumbre tiene principalmente 2 causas: que los sistemas físicos tienen una variación natural que es inevitable (en el ejemplo del aire acondicionado, la variación puede deberse al aumento de temperatura exterior durante el día, o a que las puertas o ventanas no estén siempre cerradas); y que a veces es difícil medir los parámetros del sistema de manera precisa (por ejemplo, si el termómetro que mide la temperatura de la habitación no tiene buena calidad o solamente mide la temperatura en un cierto lugar de la habitación).

Por lo anterior, los controladores deben ser diseñados tomando en cuenta esta incertidumbre. La estabilidad del sistema también se ve afectada por estas variaciones, es decir, se requiere implementar controladores que funcionen a pesar de las variaciones causadas por la incertidumbre. A esta rama de estudio se le llama control robusto, y el objetivo se convierte entonces en diseñar los controladores de tal forma que el sistema sea robustamente estable. Matemáticamente, la incertidumbre se traduce en que los coeficientes del polinomio característico no son fijos, sino que presentan variación, y esto significa que ahora deben analizarse toda una familia de polinomios en lugar de uno solo. Esta situación complica un poco el análisis y diseño de controladores, pero a lo largo de los años se han desarrollado varias técnicas matemáticas que permiten resolver adecuadamente el problema.

Como parte de un proyecto de investigación reciente en el que participamos matemáticos e ingenieros de varias universidades mexicanas y extranjeras, hemos desarrollado algunas técnicas novedosas que aportan nuevas soluciones al problema de la estabilidad robusta. Dichas técnicas involucran el uso de unas funciones matemáticas especiales llamadas polinomios ortogonales. Estos polinomios tienen una gran cantidad de aplicaciones, entre las que se cuentan el procesamiento de imágenes digitales y señales electrónicas, así como el modelado de aberraciones de la córnea en optometría y oftalmología, entre muchas otras. También son muy útiles en otras ramas de la ciencia tales como la física y la estadística. Es importante mencionar que las técnicas desarrolladas en este proyecto han sido ya probadas en algunas aplicaciones que involucran el uso de procesos químicos y biológicos.

Por último, vale la pena recalcar que en el proyecto antes mencionado se utilizan resultados de investigación básica (en Matemáticas) y de investigación aplicada (en Ingeniería): la idea principal proviene de resultados matemáticos abstractos que fueron desarrollados sin tomar en cuenta sus posibles aplicaciones; luego, en colaboración con investigadores en el área de Ingeniería, se plantearon algunos problemas de naturaleza más práctica. En suma, la investigación científica es importante no solamente porque busca soluciones a problemas teóricos y de aplicación práctica, sino también porque busca mejorar dichas soluciones y proponer otras que representen alguna ventaja en tiempo, costo o facilidad de implementación.

Los resultados de la investigación fueron presentados en el Congreso Bienal de la Real Sociedad Matemática Española (https://2021.bienalrsme.com/bienvenida).

Los artículos científicos en los que está basado el texto pueden verse en:

https://www.mdpi.com/2227-7390/7/9/818

https://www.mdpi.com/2227-7390/8/8/1322

*Profesor investigador de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Colima

Las opiniones expresadas en este texto periodístico de opinión, son responsabilidad exclusiva del autor y no son atribuibles a El Comentario.

Mira también
Cerrar
Botón volver arriba